ismailari.com

Görüntü işleme kodlarını anlamak için öncelikle MATLAB bilmek gerekiyor. Biraz baktım da, internette derli toplu Türkçe bir MATLAB programlama kaynağı yok. Daha doğrusu olanlar o kadar yavaş ilerliyor ki… Programlama bilip de hızlıca MATLAB öğrenmek isteyenlere pek uygun gözükmüyor. Güzel bir kaynak olduğunu düşündüğüm kodları açıklamalarıyla birlikte göndereyim istedim.

Aşağıdaki kodları MATLAB komut satırına sırası ile girip sonuçlarını gözlemleyerek güzel bir başlangıç yapabilirsiniz.

Eğer MATLAB çalışma ortamı hakkında hiç bilginiz bulunmuyorsa ya da programlama bilmiyorsanız MATLAB eğitim videoları ile başlayabilirsiniz. Programlama biliyorsanız, oradan ilk videolara bakıp buradan devam etmenizi öneririm, çünkü o videolar daha başlangıç seviyesindeler ve size uygun olmayabilir.

Şimdilik yüzeysel bir ders (’tutorial’) oldu.. Biraz (!) zamanımı alıyor açıkçası. Eklemeler olursa sonraki yazı(lar)da genişletirim. Daha sonra da rahatça görüntü işleme çalışmalarına başlayabileceğim.

Buyurun, temel MATLAB programlamaya hızlıca giriş notları…

Başlamadan

“%” sembolü yorumlar icin kullanılır (satır sonuna kadar) ipucu: Birden fazla satır icin hataAyiklama diye global bir değişken tanımlayıp

if hataAyiklama
   islemler
end

şeklinde yazabilirsiniz

Tek satırda kullanmak için oldukça uzun olan bir işlem yazacağınız zaman alt satıra geçtiğinizi belirtmek amacıyla satır sonuna … ekleyin. Ör:

A = [1, 2; ...
3, 4];

İşlem sonuna noktalı virgül konulursa MATLAB sonucu ekrana basmaz. Eğer “;” eklemezseniz sonuç görüntülenir. Değişkenlerin değerlerini görmek için faydalıdır. Ör:

A

İşlere girişmeden önce clear ile ortamdaki değişkenleri temizleyelim ve clc ile de komut ekranını temizleyelim

clear
clc

MATLAB komut satırı komut sistemine (kabuk) benzetilebilir:

Komut satırındayken

Basit hata ayiklama: Eğer “dbstop if error” çalişma sırasında hata veren bir betiği/fonksiyonu çalıştırmadan önce yazılmışsa, program hatanın olduğu yerde durur. Hata ayıklamak icin çok işe yarayabilir. Ama bana kalırsa en temizi “breakpoint” koyarak hata ayıklamaktır. Program o noktaya geldiğinde istediğiniz değişkeni gözlemleyebilirsiniz.

MATLAB’de Temel Veri Yapıları

(A) MATLAB’de temel yapılar:

skalar sayılar ( genellikle “double”-kesinliğinde gerçel sayılar), vektörler ve matrislerdir:

Not: Aslında bunlarin hepsi birer matristir. Örneğin skalar bir sayı 1×1lik bir matrisdir.

2×2lik matrisler yaratalım. Matris yaratmanın en basit yolu elemanlarını kare parantez içinde yazmaktır. ; sembolu satırları, (isteğe bağlı) , ise sütunlari ayırır.

A = [1 2; 3 4];
B = [1,2; 3,4];

Görüldüğü üzere noktalı virgülle bitirdiğimiz için sonuçlar ekrana basılmadı. Şimdi skalar bir değer oluşturalım.

Ben örneklerde, sonuçları görmek için sonlarına ; eklemeyeceğim. Siz isterseniz ekleyebilirsiniz. Sonuçları bize döndürdüğü için MATLAB’i çk gelişmiş bir hesap makinesi olarak düşünebiliriz.

N = 5

N =

5

Satır ve sütun vektörleri oluşturalım. Matris tanımı içinde ; kullanırsak alt satıra geç demek oluyor.

v = [1 0 0]
v = [1; 2; 3]

v =

1     0     0

v =

1
2
3

v vektörünün transpozesini alalım.

Dikkat: Tek tırnak sembolü eşlenik transpoze içindir. Karmaşık sayılarla çalışırken hangisini kullandığınız önemlidir.

v = v.'

v =

1     2     3

Vektör değerlerini teker teker yazmak zor sanki böyle. Gelin kolayına kaçıp belli aralıklar ile doldurulmus vektör oluşturalım.

Kullanım: [baslangic:adım:bitis]

v = 1:.5:3
v = pi*[-4:2:4]/4

v =

1.0000    1.5000    2.0000    2.5000    3.0000

v =

-3.1416   -1.5708         0    1.5708    3.1416

Başka bir yol da mümkün: linspace(baslangic,bitis,kac_parca)

v = linspace(1,3,5)

v =

1.0000    1.5000    2.0000    2.5000    3.0000

Peki boş değişken oluşturmak isteseydik

v = []

v =

[]

(B) Özel matrisler oluşturma:

İlk parametre SatırSAYISI, 2. parametre SUTUNSAYISInı belirtir

2×3lük sıfır ve bir matrisleri oluşturalım

m = zeros(2, 3)
v = ones(2, 3)

m =

0     0     0
0     0     0

v =

1     1     1
1     1     1

3×3lük birim matris oluşturalım

m = eye(3)

m =

1     0     0
0     1     0
0     0     1

Rasgele sayılar içeren 3×1lik matris (sütun vektörü); randn’e de bakınız

v = rand(3, 1)

v =

0.9436
0.4269
0.0331

Dikkat: Eğer iki değil de bir parametre verirsek, örneğin 3×3luk sıfır matrisi oluşturur (vektör değil!)

m = zeros(3)

m =

0     0     0
0     0     0
0     0     0

(C) Vektör ve matrisleri indeksleme:

Uyarı: İndeksler her zaman 1 ile başlar (0 ile değil)!

Vektör elemanına ulaşma

v = [1 2 3];
v(3)

ans =

3

2. elemanı silmek isteseydik

v(2) = []

v =

1     3

Matris bir tane elemanına ulaşmak için matris(Satır_No, SUTUN_No)

m = [1 2 3 4; 5 7 8 8; 9 10 11 12; 13 14 15 16]
m(1, 3)

m =

1     2     3     4
5     7     8     8
9    10    11    12
13    14    15    16

ans =

3

Matrisin tüm satırına ulaşma (2. satır) ve tüm sütununa ulaşma (1. sütun)

m(2, :)
m(:, 1)

ans =

5     7     8     8

ans =

1
5
9
13

1. satırın 1′den 3′e kadar (dahil) elemanları

m(1, 1:3)

ans =

1     2     3

2. sütunun 2′den 3′e kadar (dahil) elemanları

m(2:3, 2)

ans =

7
10

Anahtar sözcük end satır/sütun’daki son elemana kadar demektir

m(2:end, 3)

ans =

8
11
15

Matrisin boyutunu gösterelim

m = [1 2 3; 4 5 6]
size(m)

m =

1     2     3
4     5     6

ans =

2     3

Satır sayısı

size(m, 1)

ans =

2

Sütun sayısı

size(m, 2)

ans =

3

m ile aynı boyutta yeni bir matris oluşturmak istersek

m1 = zeros(size(m))

m1 =

0     0     0
0     0     0

Şu ana kadar bir hayli çalıştık. Çalışma alanindaki değişkenleri görelim

who

Your variables are:

A    B    N    ans  m    m1   v

Değişkenleri boyut, tip, vb. bilgileriyle görelim

whos

  Name      SizeBytes  Class     Attributes

A         2x2    32  double
B         2x2    32  double
N         1x1     8  double
ans       1x1     8  double
m         2x3    48  double
m1        2x3    48  double
v         1x2    16  double

Bu arada, ans diye gözüken değişken en son yaptığımız ve herhangi bir değişkene atamadığımız değer. Yani answer demek.

Vektör ve Matrisler Üzerinde Basit İşlemler

(A) Eleman bazında yapılan işlemler:

Bu işlemler “eleman eleman” yapılan işlemlerdir. Eğer iki vektör/matris toplama, çıkarma, çarpma veya bölme işlemine sokulacaksa aynı boyutta olmalıdır.

Sütun vektörünü skalar ile çarpma ve skalara bölme

a = [1 2 3 4]';
2 * a

ans =

2
4
6
8

a / 4

ans =

0.2500
0.5000
0.7500
1.0000

Vektörlerde toplama (matrislerde de aynı) ve çıkarma

b = [5 6 7 8]';
a + b

ans =

6
8
10
12

a - b

ans =

-4
-4
-4
-4

Eleman eleman kare alma, çarpma ve bölme. .‘ya dikkat edin! Normal semboller matris çarpma ve bölmesi demek!

a .^ 2

ans =

1
4
9
16

a .* b

ans =

5
12
21
32

a ./ b

ans =

0.2000
0.3333
0.4286
0.5000

Eleman eleman logaritma alma ve en yakın tamsayıya yuvarlama.

log([1 2 3 4])

ans =

0    0.6931    1.0986    1.3863

round([1.5 2; 2.2 3.1])

ans =

2     2
2     3

Benzer sekilde eleman eleman işlem yapabilen birçok fonksiyon vardır. Ör: : floor, ceil, …

ipucu: MATLAB yorumlayıcı olduğu için döngülerde yavaş çalışır. O yüzden kullanacağınız işlemleri eleman bazında işlemler şeklinde tanımlamak işleri hızlandırır. bakınız: (4) Vektörleme

(B) Vektör işlemleri

Vektörlerde işlem yapan önceden tanımlı bazı MATLAB fonksiyonları

a = [1 4 6 3]

a =

1     4     6     3

Vektör elemanlarının toplamı

sum(a)

ans =

14

Vektör elemanlarının aritmetik ortalaması

mean(a)

ans =

3.5000

Vektör elemanlarının değişintisi (varyans)

var(a)

ans =

4.3333

Standart sapma

std(a)

ans =

2.0817

En yüksek ve en düşük değerler

max(a)

ans =

6

min(a)

ans =

1

Eğer matris üzerinde işlem yapılırsa, bu fonksiyonlar matrisin her bir sütununda işlem yaparlar ve sonuç olarak bir satır vektörü döndürürler

a = [1 2 3; 4 5 6]

a =

1     2     3
4     5     6

Her sütunun ortalaması

mean(a)

ans =

2.5000    3.5000    4.5000

Her sütunun en yüksek değeri

max(a)

ans =

4     5     6

Matristeki en yüksek değer

max(max(a))

ans =

6

Her satırın ortalaması (ikinci argüman hangi boyutta işlem yapılacagını gösterir)

mean(a, 2)

ans =

2
5

Vektörlerde çarpma ve bölme işlemlerine geçelim. 1×3 satır vektörü ile 3×1 sütun vektörü çarpımı sonucu skalar elde ederiz. Nokta çarpımı veya iç çarpım olarak da bilinir. . kullanmadığımıza dikkat edin.

[1 2 3] * [4 5 6]'

ans =

32

3×1 sütun vektörü ile 1×3 satır vektörü çarpımı 3×3lük matris oluşturur.

[1 2 3]' * [4 5 6]

ans =

4     5     6
8    10    12
12    15    18

(C) Matris işlemleri:

İki tane rasgele matris oluşturup çarpalım. Alttaki örnekte çarpım sonucu 3×4lük bir matris oluşacak.

a = rand(3,2)
b = rand(2,4)
c = a * b

a =

0.9294    0.2600
0.9250    0.7869
0.3583    0.5116

b =

0.5625    0.0924    0.9429    0.8459
0.6848    0.8726    0.0966    0.9094

c =

0.7009    0.3127    0.9015    1.0226
1.0592    0.7721    0.9482    1.4980
0.5519    0.4795    0.3873    0.7683

Vektör ve matrislerle başka denemeler yapalım

a = [1 2; 3 4; 5 6];
b = [5 6 7];
b * a

ans =

58    76

c = [8; 9];
a * c

ans =

26
60
94

Matrisin tersini hesaplayalım.

a = [1 3 2; 6 5 4; 7 8 9];
inv(a)

ans =

-0.3333    0.2821   -0.0513
0.6667    0.1282   -0.2051
-0.3333   -0.3333    0.3333

a‘nın özdeğerlerinden oluşan vektör

eig(a)

ans =

15.1601
-1.6860
1.5258

Hesaplamışken özvektörleri de bulalım. D matrisi köşegende özvektörleri barındırır; V matrisi özvektörleri içerir. Bu, MATLAB ile birden çok değişken döndürülmesine de güzel bir ornek!

[V, D] = eig(a)

V =

-0.2199   -0.7374   -0.2033
-0.4671    0.6751   -0.5675
-0.8564   -0.0224    0.7979

D =

15.1601         0         0
0   -1.6860         0
0         0    1.5258

a‘nın “singular value decomposition” sonucu. a = U * S * V’, a‘nın “singular” değerleri S‘de bulunur

[U, S, V] = svd(a)

U =

-0.2097    0.4071   -0.8890
-0.5147   -0.8190   -0.2536
-0.8313    0.4044    0.3813

S =

16.7157         0         0
0    2.0802         0
0         0    1.1216

V =

-0.5454   -0.8059    0.2302
-0.5895    0.1736   -0.7889
-0.5959    0.5660    0.5697

Başka başka da matris fonksiyonları var: det, norm, rank, …

(D) Matrisleri yeniden şekillendirme ve birleştirme:

Önce bir matris oluşturalım. Daha sonra onu doğrusal bir vektöre çevirelim.

Dikkat: Matrisleri diğer dillerdeki (c,c++,vb.) gibi satır satır değil de sütun sütun düşünmek gerekir. a‘nın sütunlarını ekleyerek yeni bir sütun vektörü oluşturuyoruz.

a = [1 2; 3 4; 5 6];
b = a(:)

b =

1
3
5
2
4
6

Tüm elemanların toplamını almak isteseydik

sum(a(:))

ans =

21

b vektörünün elemanlarından 2×3lük bir matris oluşturalım (yine sütun sütun)

a = reshape(b, 2, 3)

a =

1     5     4
3     2     6

İki tane satır vektörünü yatay olarak birleştirelim. (horzcat‘a bakınız.)

a = [1 2]; b = [3 4];
c = [a b]

c =

1     2     3     4

İki tane sütun vektörünü dikey olarak birleştirelim. (vertcat‘a bakınız.)

a = [1; 2; 3];
b = [4; 5]
c = [a; b]

b =

4
5

c =

1
2
3
4
5

Benzer şekilde matrisleri de birleştirebiliriz.

a = [eye(3) rand(3)]

a =

1.0000         0         0    0.0113    0.3851    0.5757
0    1.0000         0    0.5237    0.6493    0.6319
0         0    1.0000    0.6503    0.7629    0.2782

b = [eye(3); ones(1, 3)]

b =

1     0     0
0     1     0
0     0     1
1     1     1

repmat kullanarak bir değişkeni ızgara şeklinde kopyalayabiliriz. Örneğin tüm değerleri 5 olan 3×2lik bir matris yapalım.

b = repmat(5, 3, 2)

b =

5     5
5     5
5     5

İlla ki tek değer olması gerekmezdi. Bir matrisi de klonlayabilirdik.

Kullanım: repmat(kopyalanacak_veri,satır_sayisi,sütun_sayisi)

b = repmat([1 2; 3 4], 1, 2)

b =

1     2     1     2
3     4     3     4

Verilen vektörle 3×3lük bir koşegen matrisi oluşturalım.

b = diag([1 2 3])

b =

1     0     0
0     2     0
0     0     3

Kontrol İşlemleri ve Vektörleme (Vectorization)

Döngüleri en azından bir dilde bildiğinizi bilerek hızlıca MATLAB’de nasıl olduğuna bakalım.

Kontrol işlemlerinin sentaksı:

for DEGISKEN = DEGERLER
   islem
   ...
   islem
end

DEGERLER döngünün hangi degerler icin yapılacağı vektör olmalıdır, örneğin: 1:10 veya -1:0.5:1 veya [1 4 7]

while KOSUL
   islemLER
end

if KOSUL
   islemLER
elseif KOSUL
   islemLER
else
   islemLER
end

elseif ve else kısımları isteğe bağlıdır, end ise gereklidir.

KOSUL|lar genellikle ilişkilerden oluşur, örneğin |a < b

Operatörler: ~, <, >, <=, >=, ==, ~= (C’deki ! yerine ~ kullanılır) KOSULlar && (ve), || (veya) ile kullanılabilir. Ör. a < b && ( c != d \\| e >= f)|

Uyarı: Döngüler MATLAB’de çok yavaş çalışır. İşlemlerinizi hızlandırmak için mümkün olan yerlerde vektörleme yapmalısınız. Ör: Kodunuzu matris işlemleriyle tekrar yazmalısınız. Aşağıda birkaç örnek bulacaksınız.

1′den 7′ye kadar 2 atlayarak döngü oluşturalım ve i‘yi ekrana basalım.

for i=1:2:7
   i
end

i =

1

i =

3

i =

5

i =

7

Verilen bir vektör üstünde döngü oluşturalım. İçine bir de if kontrolü koyalım.

for i=[5 13 -1]
   if (i > 10)
      disp([int2str(i) ' sayısı 10dan büyük'])
   elseif i < 0
      disp([int2str(i) ' sayısı negatif bir sayı'])
   else
      disp([int2str(i) ' sayısı 0 ile 10 arasında'])
   end
end

5 sayısı 0 ile 10 arasında
13 sayısı 10dan büyük
-1 sayısı negatif bir sayı

Başka bir örnek: A adında mxn’lik bir matris ve v adında 1xnlik bir vektör verilmiş olsun, v‘yi A‘nın her satırından çıkarmak istiyoruz.

m = 6; n = 3;
A = ones(m, n)
v = 2 * rand(1, n)

A =

1     1     1
1     1     1
1     1     1
1     1     1
1     1     1
1     1     1

v =

1.6797    0.8537    1.2632

Döngü kullanarak şöyle yapabiliriz

for i=1:m
   A(i,:) = A(i,:) - v;
end

Aynı işlemi yalnızca matris işlemleri kullanarak da yapabilirdik. Peki nasıl?

A = ones(m, n) - repmat(v, m, 1)

A =

-0.6797    0.1463   -0.2632
-0.6797    0.1463   -0.2632
-0.6797    0.1463   -0.2632
-0.6797    0.1463   -0.2632
-0.6797    0.1463   -0.2632
-0.6797    0.1463   -0.2632

Bu hali (özellikle bu işleme cok kez ihtiyaciniz varsa) işinizi hızlandıracaktır!!!

Döngüler koşullu işlemler içerse dahi vektörleme yapabiliriz

Örnek: mxn’lik A matrisi verilsin, aynı boyutta tum degerleri sıfır olan bir B matrisi oluşturalım. Daha sonra B‘ye, A‘nın sıfırdan büyük olan elemanlarını kopyalayalım.

Döngü kullanarak hesaplama:

B = zeros(m,n);
for i=1:m
   for j=1:n
      if A(i,j) > 0
         B(i,j) = A(i,j);
      end
   end
end
B

B =

0    0.1463         0
0    0.1463         0
0    0.1463         0
0    0.1463         0
0    0.1463         0
0    0.1463         0

Tüm bu işlemler hiç dongu kullanmadan yapılabilir! A‘nın 0′dan büyük elemanlarının indekslerini buluruz. B‘ye, A‘da bulunan indekslerdeki elemanları kopyalarız.

B = zeros(m,n);
ind = A > 0

ind =

0     1     0
0     1     0
0     1     0
0     1     0
0     1     0
0     1     0

B(ind) = A(ind)

B =

0    0.1463         0
0    0.1463         0
0    0.1463         0
0    0.1463         0
0    0.1463         0
0    0.1463         0

Değişkenleri/Oturumu Kaydetmek

Bugün oturduk, çalıştık… Yorulduk, aynı değişkenlerle sonradan çalışalım dedik…

Alttaki kullanım tüm calışma alanı değişkenlerini dosyam.mat dosyasına kaydeder. Bulunduğunuz klasöre bir göz atın, dosya orada duruyor mu bakalım?

save dosyam

Sadece a ve b değişkenlerini kaydetmek isteseydik:

save dosyam a b

Peki bu iki değişkeni kaydetmek değil de silmek isteseydik:

clear a b

Tüm değişkenleri silelim:

clear

Kaydettiğimiz değişkenleri geri yükleyelim

load dosyam

m-dosyaları ile Betikler ve Fonksiyonlar Yazma:

MATLAB ile betik dosyası oluşturma

MATLAB betikleri “.m” uzantısı olan ve MATLAB kodları içeren dosyalardır. Dosya içindeki değişkenler global çalışırlar ve o anki MATLAB oturumunda ortamda bulunan aynı isimdeki değiskenleri değiştirir. “betigim.m” adındaki bir betiği “betigim” yazarak komut satırından çalıştırabilirsiniz.

Mesela alttaki kodu betigim.m olarak kaydedin.

a = 10;
b = 2*a;

Şimdi de komut satırından şunları girelim

a = 2;
b = 3;
betigim();
a

a =

10

b

b =

20

Görüldüğü üzere tanımladığımız değişkenler betik içinde yeni değerlere atandı. Bu tehlikeli olabilir. Gelin fonksiyon yazmaya
geçelim.

MATLAB ile fonksiyon yazma

Fonksiyonlar da m-dosyalarıdır. Farklı olarak bir fonksiyonun ilk satırı söyle olmalıdır:

function [sonuc1, sonuc2, ..., sonucm] = fonksiyonum(arg1, arg2,...,argn)

Fonksiyonun adı dosya adı ile aynı olmalıdır. Örnegin “fonksiyonum” fonksiyonu “fonksiyonum.m” dosyasına koyulmalıdır. Örnek
olarak fonksiyonum.m ve digerfonksiyonum.m dosyalarına bakiniz.

Fonksiyonlar lokal ortamda çalıştırırlar. Yani ana calışma alanındaki aynı isimdeki bir değişkeni kaybetme riskiniz yoktur.
Fonksiyonun sonucunda sadece sonuc olarak dönen deüişkenler, çağıran fonksiyonun çalışma alanında görülür.

Örnekleri yapmadan önce aşağıdaki fonksiyonları çalışma dizininize kaydedin.

fonksiyonum.m:

Tek girdi argumanı alan ve tek değer döndüren örnek fonksiyon

function y = fonksiyonum(x)

a = [-2 -1 0 1];
y = a + x;

digerfonksiyonum.m:

2 girdi argumanı alan ve 2 değer döndüren örnek fonksiyon

function [y, z] = digerfonksiyonum(a, b)

y = a + b;
z = a - b;

a = [1 2 3 4];
b = fonksiyonum(2 * a)
a

b =

0     3     6     9

a =

1     2     3     4

Görüldüğü üzere a değeri değişmedi. Şimdi de iki değişken döndüren örneğimizi çağıralım

[c, d] = digerfonksiyonum(a, b)

c =

1     5     9    13

d =

1    -1    -3    -5

Grafik Çizdirme

Belki MATLAB’in en güçlü yanı çizebildiği çeşitli güzel grafiklerdir. Önce temel çizim fonksiyonumuz plot ile başlayalım.

y = [0 1 5 2 3];

y‘yi indeks degerleri ile grafik olarak çizelim. Yani dikey eksen y‘nin değerleri olsun, yatay eksense 1′den başlayıp y‘nin boyuna kadar gitsin.

plot(y)

İstersek yatay eksen değerlerini de verebiliriz. Üstüne axis ile görüntülenen sınırları belirleyebiliriz. Kullanımı: axis([enkucukx enbuyukx enkucuky enbuyuky])

x = linspace(0,1,length(y));
plot(x, y);
axis([-0.5 1.5 -0.2 5.2]);

Normalde yeni bir figür çizdiğimizde en son aktif olan figürün üstüne çizilir. Eğer yeni bir figür açmak istersek figure yazabiliriz. Şimdi de bir sinüs grafiği çizelim ve biraz da süsleyelim.

figure
x = pi*[-24:24]/24;
plot(x, sin(x))
xlabel('radyan')
ylabel('sinüs değeri')
title('Sinüs Grafiği')

Bazen aynı figüre bir çizim yapmak yerine küçük pencereler halinde daha çok çizim yapmak isteyebiliriz. Bunun için de subplot imdadımıza yetişiyor. Kullanım: subplot(satır_sayisi, sütun_sayisi, su_an_cizilecek_olanin_indeksi)

subplot(1, 2, 1)
plot(x, sin(x))
axis square
title('Sin grafiği')
subplot(1, 2, 2);
plot(x, cos(x));
axis square
title('Cos grafiği')

Yukarıda görüntülenen alanları kare yaptık. Başka seçenekler de koyabilirdik. help axis ile görebilirsiniz.

Şimdi de aynı çizim alanına birden fazla çizim yapalım. Bunun için hold on ve hold off kullanmamız gerekecek. Bu komutlarla yeni çizim yapılırken eski çizimin üstüne yapılıp yapılmayacağı belirlenir. İstersek
plot(x1,y1,x2,y2,x3,y3,…) şeklinde de birden çok çizim yapabilirdik. Fakat böyle tercih etmemin sebebi çizimlerin özelliklerini ayrı ayrı belirleyebilmek.

Alttaki örnekte ‘:’ parametresi kesik çizgili doğru çizer. help plot ile doğru ve nokta şekillerine bakabilirsiniz. Pek çok güzel seçenek mevcut. legend ile de çizimlerin adlarını koyabiliriz.

figure
plot(x, sin(x), '-g');
hold on
plot(x, cos(x), '--r')
legend('sin', 'cos')
hold off

Bundan sonra tekrar çizim yapan fonksiyonlardan herhangi birini (plot, stem, bar, stairs, vb.) cağırırsanız eski çizim silinir ve sadece yeni çizim gözükür. Haydi örnek olarak stem fonksiyonu çizelim, biraz da varyete ekleyelim.

stem(x,sin(x), '--ro','LineWidth',2,...
'MarkerEdgeColor','k',...
'MarkerFaceColor','g',...
'MarkerSize',7)
 
title('Sin grafiği')

Matrisleri resim gibi çizmeye bakalım.

m = rand(16,16);
imagesc(m)

Renklendirme haritasi olarak gri kullanalım, eksenleri silelim ve oranları pikseller kare görünecek şekilde sabitleyelim.

colormap gray
axis image
axis off

İşimiz bitti, tüm figürleri kapatalım. Not: Sadece close kullansaydık şu anki figürü kapatırdık.

close all

İpucu: Eğer döngülerin içinde plot fonksiyonunu (veya diğer çizim fonksiyonlarını) cağırırsanız her döngüdeki sonuç yerine son sonucu gorebilirsiniz. Tüm çizim sonuçlarını animasyon şeklinde görmek için plot fonksiyonundan sonra döngü içine drawnow komutunu giriniz.

Karmaşık Sayılarla İşlemler

MATLAB’de gerçel sayılar dışında karmaşık sayılarla da işlem yapılabilir. Karmaşık sayılar için “complex” veri tipi vardır. Karmaşık sayıları tanımlarken sanal değerleri için i veya j kullanılabilir. Daha önceden i veya j‘yi başka değerlere atadıysanız (örneğin bir döngüde sayaç olarak) sanal birim olarak kullanamazsınız. i ve j olarak ayrı ayrı olması mühendislerin j, fizikçilerin/matematikçilerin i kullanmasıdır.

Biz her ihtimale karşı önceden tanımlanan i ve j değerlerini silelim ki sanal birim için güvenle kullanabilelim.

clear i j

i

i =

6

j

j =

3

Değişik karmaşık sayılar oluşturalım

x = 1 + 4i

x =

1.0000 + 4.0000i

x = real(x) + imag(x)*i

x =

25

theta = pi/4
y = cos(theta) + sin(theta)*j

theta =

0.7854

y =

2.8284

Yukarıdaki örneği, Euler formülünü kullanarak da hesaplayalım, bakalım aynı mı?

y = exp(i*theta)

y =

111.3178

Skalar değerler gibi, vektör ve matrisleri oluşturmak da mümkün:

v = [x y 5-7i]

v =

1.0e+002 *

0.2500 1.1132 0.0500 - 0.0700i

A = [v;4+i 3-8j -2-2j]

A =

1.0e+002 *

0.2500 1.1132 0.0500 - 0.0700i
0.1000 0.0300 - 0.0800i  -0.0200 - 0.0200i

B = rand(size(A)) + rand(size(A))*i

B =

1.2382    5.5190    1.2364
4.4993    3.3112    2.2622

Şimdi transpoze ve eşlenik transpozeyi tekrardan hatırlayalım. Sadece tek tırnak koyarsak, bu elemanların eşleniğini de alır.
Eşlenik almadan transpoze yapmak istersek .’ kullanmalıyız.

C1 = B'

C1 =

1.2382    4.4993
5.5190    3.3112
1.2364    2.2622

C2 = B.'

C2 =

1.2382    4.4993
5.5190    3.3112
1.2364    2.2622

Gerçel sayılardaki tüm işlemler karmaşık sayılarla da yapılabilir. Örneğin toplama, çıkarma, matris çarpımı, eleman eleman çarpım, fonksiyonlar, vb.

A + B

ans =

1.0e+002 *

0.2624 1.1684 0.0624 - 0.0700i
0.1450 0.0631 - 0.0800i   0.0026 - 0.0200i

A - B

ans =

1.0e+002 *

0.2376 1.0580 0.0376 - 0.0700i
0.0550-0.0031 - 0.0800i  -0.0426 - 0.0200i

A * A'

ans =

1.0e+004 *

1.3091 0.0588 + 0.0915i
0.0588 - 0.0915i   0.0181

A .* B

ans =

1.0e+002 *

0.3095 6.1436 0.0618 - 0.0865i
0.4499 0.0993 - 0.2649i  -0.0452 - 0.0452i

sum(sum(A(:,1) * B(2,:)))

ans =

352.5467

mean(B(:))

ans =

3.0110

Gerçel değerli değiskenler ile karmaşık değerli değişkenlerin sonucu karmaşık değerlidir.

Bazı fonksiyonlar karmaşık değerler döndürebilir. Örneğin hızlı Fourier dönüsümü karmaşık sayılar döndürür.

x = rand(8,1)

x =

0.7319
0.0405
0.4245
0.5402
0.9538
0.2089
0.1163
0.6462

y = fft(x)

y =

3.6624
-0.2661 - 0.1141i
1.1448 + 0.9370i
-0.1778 + 0.5022i
0.7907
-0.1778 - 0.5022i
1.1448 - 0.9370i
-0.2661 + 0.1141i

Sanırım başlangıç için bu kadar yeterli! Takıldığınız yerde MATLAB’in yardımını kullanabilirsiniz.

Artık rahatça resimleri matris şeklinde okuma ve üzerinde işlem yapma konularına geçebiliriz. Bir dahaki yazıda kaldığımız yerden devam edelim…

http://www.cs.brown.edu/courses/cs143/MatlabTutorialCode.html’den yola çıkarak yeni eklemelerle Türkçe’ye uyarlanmıştır.